ChatGPT で数学やってみる (その２) - AI でいろいろ (数学とか) やってみる

どうも、やまです。

前回に引き続き、ChatGPT が数学に関してどの程度のことができるのか確認していきます。

前回の記事はこちら

yamath.hatenablog.com

ベクトル空間の定義は概ね正しく解答してくれましたね。

大学教養レベルの数学について定義を答えるくらいならば問題なさそうです。

では証明はどうでしょうか？

初歩的な命題の証明

解析学の初歩的な命題について聞いてみましょう。

参考書はこの辺りが定番でしょうか。

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以下の質問をしてみます。

入力：　2つの収束する実数列の和が、もとの数列の極限の和に収束することを証明してください。

GPT：　2つの収束する実数列の和が、もとの数列の極限の和に収束することを証明します。

まず、2つの収束する実数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がそれぞれ $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ および $\lim_{n \to \infty} b_n = B$ に収束すると仮定します。ここで、 $A$ と $B$ は実数です。これらの和の数列 $\{c_n\}$ を次のように定義します：

$c_n = a_n + b_n$

この数列 $\{c_n\}$ が $A + B$ に収束することを示します。

収束の定義を用いると、次のようになります： $\{a_n\}$ が $A$ に収束するということは、任意の正の数 $\epsilon \gt 0$ に対して、ある自然数 $N_1$ が存在して、すべての $n \geq N_1$ に対して次の不等式が成り立ちます：

$|a_n - A| \lt \frac{\epsilon}{2}$

同様に、 $\{b_n\}$ が $B$ に収束するということは、任意の正の数 $\epsilon \gt 0$ に対して、ある自然数 $N_2$ が存在して、すべての $n \geq N_2$ に対して次の不等式が成り立ちます：

$|b_n - B| \lt \frac{\epsilon}{2}$

今、 $N = \max(N_1, N_2)$ とします。すると、すべての $n \geq N$ に対して、次の不等式が同時に成り立ちます：

$|a_n - A| \lt \frac{\epsilon}{2}$
$|b_n - B| \lt \frac{\epsilon}{2}$

次に、 $\{c_n\}$ の収束を示すために、 $c_n = a_n + b_n$ について考えます。すべての $n \geq N$ に対して次のように計算できます：

$|c_n - (A + B)| = |(a_n + b_n) - (A + B)|$
$= |(a_n - A) + (b_n - B)|$

三角不等式を用いると、

$\leq |a_n - A| + |b_n - B|$

ここで、すべての $n \geq N$ に対して、

$|a_n - A| \lt \frac{\epsilon}{2}$
$|b_n - B| \lt \frac{\epsilon}{2}$
であるから、

$|c_n - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

したがって、すべての $n \geq N$ に対して

$|c_n - (A + B)| \lt \epsilon$

が成り立ちます。

これは、数列 $\{c_n\}$ が $A + B$ に収束することを意味します。したがって、2つの収束する実数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の和の数列 $\{c_n\}$ もまた、もとの数列の極限の和 $A + B$ に収束することが証明されました。

............... すごい！！！

特に問題なく証明できていますね。

まあ、これくらい初歩的な命題の証明ならどこかのサイトに載っているものをコピペするだけでも答えられるか……

数学的な概念の説明

ある数学的な概念（例えば「ガロア理論」「ルベーグ積分」など）について詳細な部分まで正確に把握しようとするとそれだけで書籍の何章分かをまるまる割かなければならない、というようなことが往々にしてあります。

しかし、とりあえず大まかにその概念がどのようなものなのか知りたい！ということってありますよね。

そんなときに ChatGPT に尋ねてみたらよいのではないか？と思ったので、試しに「ルベーグ積分」について聞いてみましょう。

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結果に差が出るかどうかは分かりませんが、外来語部分は英字表記にして「Lebesgue積分」としてみます。

入力：　Lebesgue積分について教えてください。

GPT：　

Lebesgue積分について

Lebesgue積分は、測度論に基づく積分の概念であり、リーマン積分の一般化として広く用いられます。この積分法は、特に非有界な関数や区間で定義された関数に対しても適用可能であるため、より広範な関数に対して適用できます。

基本的な概念

測度

Lebesgue積分の基礎には測度（measure）があります。測度とは、集合の「大きさ」を定量化するための概念で、特にルベーグ測度はユークリッド空間において直感的な「長さ」「面積」「体積」と対応します。

可測関数

関数がLebesgue積分可能であるためには、その関数が可測でなければなりません。可測関数とは、関数の値の逆像がすべて可測集合になるような関数を指します。

Lebesgue積分の定義

単関数の積分: 単関数（有限個の定数値を取る関数）に対しては、その値ごとに対応する測度を掛けた和として定義されます。具体的には、単関数 $\phi$ が
$\phi = \sum a_i \chi_{A_i}$
の形で表されるとき、そのLebesgue積分は
$\int \phi \, d\mu = \sum a_i \mu(A_i)$
で定義されます。

非負の可測関数の積分: 任意の非負の可測関数 $f$ に対しては、それを上に抑える単関数の極限として定義されます。具体的には、
$\int f \, d\mu = \sup \left\{ \int \phi \, d\mu \mid 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{ は単関数} \right\}$

一般の可測関数の積分: 一般の可測関数 $f$ に対しては、まずその正負の部分 $f^+$ と $f^-$ に分けて、それぞれの積分を計算し、その差として定義されます。
$\int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu$
ここで、 $f^+ = \max(f, 0)$ および $f^- = \max(-f, 0)$ です。

リーマン積分との比較

Lebesgue積分はリーマン積分と異なり、関数の値を区間ごとに「縦に」積分するのではなく、関数の値域ごとに「横に」積分します。このため、Lebesgue積分はリーマン積分よりも多くの関数を積分可能にし、例えば特異点を持つ関数や発散する関数に対しても適用可能です。

収束定理

Lebesgue積分の重要な特性の一つとして、いくつかの収束定理があります。特に重要なのは以下のものです。

モンローの収束定理（Monotone Convergence Theorem）

ファトゥの補題（Fatou's Lemma）

優収束定理（Dominated Convergence Theorem）

これらの定理は、関数列の極限とその積分を交換する際に有用です。

応用

Lebesgue積分は、確率論、解析学、フーリエ解析など多くの数学の分野で基盤となる概念です。特に、確率論では確率測度を用いて確率変数の期待値を定義するために使われます。

以上がLebesgue積分の概要です。より詳細な理解には、測度論や実解析のテキストを参照することをお勧めします。