ChatGPT で数学やってみる - AI でいろいろ (数学とか) やってみる

どうも、やまです。

今回が初回投稿です。

当ブログの内容は、名前の通り「AI でいろいろやってみよう」的な感じにしようと思っています。

といっても、ここで言う AI とは主に（というかほぼすべて）ChatGPT のことです。

そして、ChatGPT にやらせる「いろいろ」とは、私自身の趣味である数学に関するものが多くなると思いますが、それ以外にも少しずつ手を出してみようと思っています。

ちなみに、私は AI に関してはまったくの素人です…

現在の ChatGPT ではどこまで数学を扱えるのか

初回投稿ということで、まずは現在（2024年5月）における ChatGPT が数学に関してどの程度のことができるのか、ゆる～く確認してみることにします。

使用するモデルは GPT-4o です。

具体的に、ChatGPT に説明させたいのは

概念の定義
命題の証明
特定の分野の概要

などの内容です。

予想としては、正確な定義を説明するのは割と得意そうだと思っています。

また、要約は ChatGPT の得意分野でしょうから (知らんけど) 概要説明も専門的過ぎない内容ならばうまくいきそうな気がします。

証明はどうなんでしょうか……

まずは大学教養レベルの数学として定番の線形代数からです。

（ ↓ かの有名なチャート式）

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（ ↓ 私が大学1年の授業で使ったのはこちらでした）

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ベクトル空間の定義を聞いてみましょう。

入力：　ベクトル空間の定義を教えてください。

GPT：　ベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）は、数学の線形代数学において、ベクトルと呼ばれる要素からなる集合と、それに関連する演算（ベクトルの加法およびスカラー倍）が定義された代数的構造です。具体的には、ベクトル空間は以下の要素から構成されます。

1. 集合 $V$

ベクトルと呼ばれる要素の集合。

2. スカラーの集合 $\mathbb{F}$

通常は実数体 $\mathbb{R}$ あるいは複素数体 $\mathbb{C}$ ですが、一般的には任意の体（field）でよい。

3. ベクトルの加法

任意の2つのベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ に対して、 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$ であること。

加法には以下の性質がある：

交換律: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

結合律: $\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}$

零ベクトルの存在: 零ベクトル $\mathbf{0} \in V$ が存在し、任意の $\mathbf{v} \in V$ に対して $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$

逆元の存在: 任意の $\mathbf{v} \in V$ に対して、逆元 $\mathbf{-v} \in V$ が存在し、 $\mathbf{v} + (\mathbf{-v}) = \mathbf{0}$

4. スカラー倍

任意のスカラー $a \in \mathbb{F}$ と任意のベクトル $\mathbf{v} \in V$ に対して、 $a\mathbf{v} \in V$ であること。

スカラー倍には以下の性質がある：

結合法則: $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$ （ $a, b \in \mathbb{F}, \mathbf{v} \in V$ ）

単位元の存在: 1をスカラーとして、 $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ （ $\mathbf{v} \in V$ ）

分配法則（スカラーに関する）: $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$ （ $a, b \in \mathbb{F}, \mathbf{v} \in V$ ）

分配法則（ベクトルに関する）: $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$ （ $a \in \mathbb{F}, \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ ）

このように、ベクトル空間は、ベクトルの加法とスカラー倍の2つの演算が定義され、これらの演算が特定の公理を満たす代数的構造です。これにより、ベクトル空間は様々な数学的な操作や解析において基礎的な役割を果たします。